En diversos problemas en ciencia e ingeniería, tales como formación de imágenes biomédicas, exploración geológica, meteorología, astronomía y dispersión inversa de ondas, entre otros, se dispone de información indirecta acerca de un objeto o magnitud física de interés. En esta situación es natural preguntar, ¿es posible caracterizar el objeto de interés? Y, de ser esto posible, ¿cómo es posible caracterizar el objeto de interés de manera eficiente a partir de la información disponible?
El área de Problemas Inversos tiene como objetivo desarrollar y aplicar las herramientas matemáticas y computacionales que nos permiten dar respuesta a estas preguntas.
La solución a un problema inverso comienza por modelar matemáticamente el problema directo, esto es, el proceso físico que relaciona el objeto de interés con la información adquirida. El modelo obtenido nos permite clasificar el problema inverso en lineal o no-lineal y nos permite determinar si es posible o no identificar el objeto de interés a partir de la información adquirida, es decir si el problema está bien puesto o mal puesto.
También es fundamental determinar si la caracterización del objeto es sensible a perturbaciones en la información adquirida, esto es, si el problema está bien condicionado o no. En caso que el problema original este mal puesto o mal condicionado es necesario identificar clases de interés que nos permitan reconstruir o estimar el objeto si asumimos que pertenece a esta clase. En este caso, información empírica o criterios de complejidad deben ser considerados. En ambos casos es necesario determinar también los efectos de muestrear o adquirir información parcial.
Finalmente, es necesario determinar métodos y técnicas de reconstrucción, es decir, fórmulas o algoritmos de inversión y los procedimientos computacionales eficientes que permiten obtener una reconstrucción o estimación del objeto de interés en tiempo razonable. Algunas de estas técnicas pueden ser clasificadas en algebraicas o variacionales.
En el Instituto de Ingeniería Matemática y Computacional participan investigadores que están involucrados en cada una de las etapas antes descritas, desde el diseño del modelo directo, hasta la implementación eficiente de los métodos de reconstrucción. En el Instituto además existen colaboraciones activas con científicos e ingenieros que trabajan en aplicaciones concretas que requieren estas técnicas. Algunos de los miembros y colaboradores del Instituto que participan en esta área son:
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Clémentine Béchet - Instituto de Ingeniería Matemática y Computacional UC.
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Matías Courdurier - Departamento de Matemáticas UC.
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Carlos Sing-Long – Instituto de Ingeniería Matemática y Computacional e Instituto de Ingeniería Biológica y Médica UC.
