Magíster en Ingeniería Matemática y Computacional

Postulaciones segundo semestre 2024: 6 al 24 de mayo
Capítulo Estudiantil

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El objetivo central de esta área es entender, formalizar y estudiar los procedimientos mecánicos, conocidos como algoritmos, que son utilizados al resolver un problema.

Para estudiar la noción de algoritmo, primero necesitamos un modelo matemático que sea capaz de formalizar este concepto. El modelo matemático clásico de algoritmo está constituido por las Máquinas de Turing, las cuales son máquinas de estado, con memoria y con una función de transición que indica cómo cambiar el estado y el contenido de la memoria de la máquina. Una vez formulado un modelo de computación, nos interesa conocer la cantidad de recursos computacionales que es necesario utilizar para resolver un problema. El primero de estos recursos es el tiempo: cuántos pasos o cuantas acciones debemos realizar para resolver el problema. También son importantes el espacio ocupado, la necesidad de utilizar una fuente de números aleatorios, la posibilidad de resolver sub-problemas en paralelo, entre otros. La formalización de un modelo de computación como objeto matemático nos permite expresar de manera precisa preguntas sobre problemas o algoritmos. En particular, si L es un problema. ¿Puede L ser resuelto por un algoritmo? ¿Puede ser L resuelto de manera eficiente? ¿Cómo podemos construir un algoritmo eficiente para L? ¿Es L un problema para el cual no existe un algoritmo que lo resuelva? Es importante destacar que el modelo de la Máquina de Turing es equivalente al computador moderno, por lo que una demostración matemática de que un problema no puede ser resuelto de manera eficiente en una Máquina de Turing nos da como consecuencia que este problema no puede ser resuelto de manera eficiente con los computadores que usamos hoy en día.

El área de teoría de la computación es particularmente interdisciplinaria, nutriéndose de cualquier otra área donde un problema deba ser resuelto por un algoritmo, tales como ingeniería, economía, matemáticas, biología y química, entre muchas otras.

Dentro de las sub-áreas y aplicaciones de teoría de la computación que son activamente investigadas en el IMC, podemos destacar:

Complejidad descriptiva: se estudia la complejidad de un problema en términos del lenguaje que es necesario utilizar para definirlo. En particular, distintas lógicas matemáticas son utilizadas como lenguajes para describir problemas.

Complejidad de lenguajes lógicos: se estudia la cantidad de recursos computacionales necesarios para evaluar una fórmula en una lógica matemática.

Expresividad de lenguajes lógicos: se estudia lo que puede ser expresado (o definido) en una lógica matemática, lo que permite entender el poder de esta lógica como modelo de computación.

Teoría de autómatas: se estudian modelos computacionales de menor complejidad basados en la idea de máquinas de estado con memoria limitada (o sin memoria). Estos modelos tienen buenas propiedades matemáticas y algorítmicas, siendo parte fundamental en el diseño e implementación de compiladores, verificación de sistemas, bases de datos, sistemas distribuidos, entre otros.

Fundamentos de manejo de datos: se estudian las bases matemáticas que modelan las diferentes tareas y aplicaciones relacionadas con el manejo de datos, lo cual requiere de la utilización de las técnicas y problemas mencionadas en los puntos anteriores.

Los profesores en el área de teoría de la computación son:

Marcelo Arenas, Departamento de Ciencia de la Computación, Escuela Ingeniería UC.
Juan Reutter, Departamento de Ciencia de la Computación, Escuela Ingeniería UC.
Cristian Riveros, Departamento de Ciencia de la Computación, Escuela Ingeniería UC.
Domagoj Vrgoc – Departamento de Ciencia de la Computación, Escuela Ingeniería UC

En el área de análisis numérico, se estudian algoritmos que usan aproximaciones numéricas para problemas de matemática continua. Muchos problemas matemáticos, incluso problemas tan sencillos de calcular como una raíz cuadrada, no tienen soluciones exactas o son costosos de obtener. En esos casos, la calculación de una aproximación numérica es normalmente más sencilla y suficientemente precisa. Para lograr aproximaciones útiles, se debe conocer la precisión de los resultados y cuantos recursos se necesitan para lograrlos. Eso es cuantificado con conceptos como precisión, convergencia, estabilidad y complejidad, entre otros.

El análisis numérico comúnmente sirve como el fundamento para otras áreas de investigación, tales como computación científica y problemas inversos, donde a menudo se usan aproximaciones numéricas. Para desarrollar algoritmos de aproximación que sean eficientes y precisos, el estudio de las características matemáticas es clave para el éxito. Sin un profundo conocimiento de los algoritmos, no se pueden usar como herramientas de predicción confiables en ciencia y tecnología.

Una de las sub-áreas importantes del análisis numérico es el álgebra lineal numérica, que se trata de estudiar algoritmos para problemas en el ámbito del álgebra lineal. Esto incluye resolver un sistema de ecuaciones lineales, que es muchas veces el núcleo de un método numérico y la parte más lenta en ejecutarse. Es decir, técnicas especializadas de álgebra lineal numérica, como precondicionamiento, son necesarias para mejorar el desempeño de los métodos computacionales. De hecho, la investigación en esa área ha atraído la atención de la industria.

Varios profesores del Instituto de Ingeniería Matemática y Computacional (IMC) se desempeñan activamente en el área del análisis numérico, entre ellos:

Norbert Heuer – Facultad de Matemáticas UC.
Elwin van ‘t Wout – Instituto de Ingeniería Matemática y Computacional UC.
Carlos Pérez – Instituto de Ingeniería Matemática y Computacional UC.
Manuel Sánchez – Instituto de Ingeniería Matemática y Computacional UC.

Uno de las especialidades de investigación en análisis numérico en el IMC es el análisis y desarrollo del método de elementos de borde (BEM). Además, hay muchas colaboraciones con las otras áreas en el IMC, debido a que el análisis numérico se usa como fundamento para sus metodologías.

Existe una gran oferta de cursos en análisis numérico: constituye uno de los tracks en el major de Ingeniería Matemática y también existe un minor de amplitud en esta materia.

Los algoritmos computacionales se han convertido en un pilar importante de la ciencia, frecuentemente complementando experimentos y teoría.

Gracias al gran desarrollo de los computadores en las últimas décadas, los métodos computacionales se han vuelto suficientemente efectivos para su uso como herramientas predictivas. Sus aplicaciones se encuentran en una amplia gama de disciplinas, tradicionalmente en ingeniería y física, y actualmente también en biología, economía y las ciencias sociales.

El área de computación científica y de alto rendimiento se ocupa del desarrollo de los modelos matemáticos y los algoritmos computacionales. El principal desafío del diseño es la eficiencia, esto es, el objetivo de lograr tan rápido como sea posible resultados precisos y útiles en equipos computacionales actuales.

Para conseguir experimentos computacionales verdaderamente efectivos, se necesita un enfoque interdisciplinario: la matemática provee las bases teóricas de algoritmos confiables y eficientes; la ciencia de la computación entrega las herramientas de software para la implementación; las ciencias aplicadas aportan con los modelos y la interpretación de los resultados.

En el Instituto de Ingeniería Matemática y Computacional (IMC) algunos profesores se han especializado en el área de la ciencia computacional:

Elwin van ‘t Wout – Instituto de Ingeniería Matemática y Computacional UC.
Clémentine Béchet – Instituto de Ingeniería Matemática y Computacional UC.
Carlos Sing-Long – Instituto de Ingeniería Matemática y Computacional e Instituto de Ingeniería Biológica y Medica UC.

La investigación en el IMC incluye todas las partes de la computación de alto rendimiento: el análisis matemático, el diseño de algoritmos eficientes, y la aplicación en otros campos de la ciencia. Las especialidades principales son la electromagnética, la acústica, la ingeniería biomédica, y la astro-ingeniería. Se exploran nuevas e interesantes aplicaciones en data science. Un creciente número de profesores están colaborando con el Instituto, entre ellos en Física e Ingeniería.

Los algoritmos computacionales se encuentran comúnmente fuera de la academia también. Muchas empresas de ingeniería frecuentemente usan métodos computacionales como una herramienta de predicción en sus procesos de diseño. Algunos ejemplos son: la creación de dispositivos electrónicos, la difusión de gases, y la propagación del sonido.

Los estudiantes pueden aprender los fundamentos de la ciencia computacional en el curso de pregrado ‘Cálculo Científico’ (MAT2605) y de la computación de alto rendimiento en ‘Algoritmos Paralelos en Computación Científica’ (IMT2112). Además, las herramientas de esta área se utilizan en varios cursos en las ciencias aplicadas que emplean algoritmos computacionales.